В каком случае модуль суммы двух чисел может быть меньше суммы модулей? В каком случае сумма модулей будет больше модуля суммы?

Речь про неравенство треугольника для действительных (и вообще комплексных) чисел:

1) Когда модуль суммы двух чисел может быть меньше суммы модулей?

Это бывает всегда, кроме случая, когда числа “смотрят в одну сторону”.

Для действительных чисел:

• $|a+b| < |a|+|b|$ тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ разных знаков (или одно из них ноль тоже можно разобрать отдельно, см. ниже), то есть $ab<0$.

• Интуитивно: одно число частично “компенсирует” другое, поэтому итоговая сумма по модулю получается меньше, чем если бы мы просто сложили “длины” $|a|$ и $|b|$.

Примеры:

• $a=5,\; b=-3$: $|a+b|=|2|=2$, а $|a|+|b|=5+3=8$, и действительно $2<8$.

• $a=2,\; b=-2$: $|a+b|=0$, $|a|+|b|=4$, строго меньше.

Когда не меньше, а ровно равно:

• $|a+b| = |a|+|b|$ происходит тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ одного знака или одно из них равно нулю (то есть $ab\ge 0$).

  • Например, $a=3, b=4$: $|7|=7$, $|3|+|4|=7$.

2) Когда сумма модулей будет больше модуля суммы?

Это по сути тот же вопрос, просто переформулированный:

Для действительных чисел это выполняется тогда и только тогда, когда числа разных знаков, то есть $ab<0$.

Почему “только тогда”:

• Если $a$ и $b$ одного знака (или один из них 0), то они не компенсируют друг друга, и получается равенство $|a+b|=|a|+|b|$, значит строго “больше” быть не может.

• Если знаки разные, часть величины взаимно уничтожается в сумме $a+b$, поэтому $|a+b|$ уменьшается, а $|a|+|b|$ остается прежней — становится строго больше.

Итог коротко:

• Строгое неравенство $|a+b|<|a|+|b|$ (то же самое, что $|a|+|b|>|a+b|$) бывает тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ разных знаков ($ab<0$).

• Равенство $|a+b|=|a|+|b|$ — когда $a$ и $b$ одного знака или одно равно нулю ($ab\ge 0$).