На числовой прямой отмечены точки с координатами 0, 1, 2, 3, 5, 8, 2016. Рассматривается множество длин отрезков с концами в этих точках. Сколько элементов оно содержит?

Нужно найти разные длины отрезков с концами в заданных точках, то есть количество различных значений вида $|x-y|$, где $x$ и $y$ — координаты из множества
$\{0,1,2,3,5,8,2016\}$.

Всего пар точек много, но нас интересуют не пары, а уникальные длины.

1) Длины между точками из набора $0,1,2,3,5,8$

Выпишем все возможные разности (берём положительные):

• От 0: $1,2,3,5,8$

• От 1: $1,2,4,7$

• От 2: $1,3,6$

• От 3: $2,5$

• От 5: $3$

Соберём уникальные значения:

Их 8.

2) Длины отрезков с точкой $2016$

Теперь берём разности $2016 - x$, где $x\in\{0,1,2,3,5,8\}$:

Это 6 различных длин, и ни одна из них не совпадает с числами $1$–$8$.

3) Итог

Общее число различных длин:

Ответ: 14.