найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x + cos x

Рассмотрим функцию

Удобно привести сумму синуса и косинуса к виду одной синусоиды с коэффициентом.

1) Преобразование

Заметим, что

Тогда

Значит,

2) Наибольшее и наименьшее значения

Известно, что для любого $t$:

Значит,

Отсюда:

• наибольшее значение функции: $\boxed{\sqrt2}$;

• наименьшее значение функции: $\boxed{-\sqrt2}$.

3) Когда достигаются

• Максимум $\sqrt2$ достигается, когда

  $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \Rightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

• Минимум $-\sqrt2$ достигается, когда

  $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 \Rightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k.$$

Итак, $\min y=-\sqrt2$, $\max y=\sqrt2$.