Во сколько раз увеличится трёхзначное число, если написать его два раза подряд?

Пусть дано трёхзначное число $N$ (например, $123$). Если написать его два раза подряд, получится шестизначное число вида $NN$. Это число можно представить так:

• первая запись $N$ занимает первые три разряда, значит она равна $N \cdot 1000$;

• вторая запись $N$ стоит в конце, значит просто прибавляется $+N$.

Тогда новое число равно:

Значит, при приписывании трёхзначного числа к самому себе (то есть записи его два раза подряд) число увеличится в 1001 раз.

Проверка на примере: $123 \to 123123$.

Совпадает.