В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите угол между скрещивающимися прямыми AC₁ и A₁B.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. Нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $A_1B$. Для скрещивающихся прямых угол определяют как угол между их направляющими векторами (то есть между параллельными им прямыми, проведёнными через одну точку).

1) Введём координаты куба

Удобно задать вершины так:

• $A(0,0,0)$

• $B(a,0,0)$

• $C(a,a,0)$

• $A_1(0,0,a)$

• $C_1(a,a,a)$

(Остальные вершины нам не понадобятся.)

2) Найдём направляющие векторы прямых

Прямая $AC_1$:
Направляющий вектор можно взять как

Прямая $A_1B$:
Направляющий вектор

3) Найдём угол между этими векторами

Угол $\varphi$ между прямыми равен углу между векторами, а значит:

Скалярное произведение:

Раз скалярное произведение равно нулю, то

Ответ

Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $A_1B$ равен $\boxed{90^\circ}$.