Во всех ваших примерах на месте двойного подчёркивания нужно ставить тире, потому что дальше идёт пояснение/уточнение к тому, что сказано в первой части. Это типичная ситуация для бессоюзного сложного предложения (или для присоединительного пояснения): во второй части раскрывается, что именно имеется в виду, чем именно выражено обобщающее слово, где именно, как именно.

Разберём по пунктам.

1) «И дождь, и туман, и тучи — всё это перемешалось между собой.»

Тире нужно.

Почему: первая часть перечисляет явления («и дождь, и туман, и тучи»), а вторая часть делает обобщение и вывод-пояснение: «всё это» = дождь, туман и тучи.
Здесь тире уместно как знак пояснения/присоединения: вторая часть как бы подытоживает перечисление и объясняет его смысл.

2) «В корзине была дичь — два тетерева и утка.»

Тире нужно.

Почему: «дичь» — слово с общим значением, а «два тетерева и утка» — уточнение, раскрытие, какая именно дичь была в корзине.
Это конструкция типа: было вот что → тире часто ставят перед пояснением (перечнем конкретных предметов).

3) «Работа кипела всюду — и наверху, и внизу.»

Тире нужно.

Почему: слово «всюду» требует уточнения, где именно: «и наверху, и внизу» — это пояснение к «всюду».
Тире показывает присоединительную, пояснительную интонацию: всюду, а именно…

4) «Несётся листок повсюду — через лес, через реку, через деревню.»

Тире нужно.

Почему: «повсюду» конкретизируется перечислением путей/мест: через лес, через реку, через деревню. Это опять пояснение ко всему сказанному в первой части.

Итог: где ставить тире?

Тире ставится во всех четырёх предложениях:

1. И дождь, и туман, и тучи — всё это перемешалось между собой.

2. В корзине была дичь — два тетерева и утка.

3. Работа кипела всюду — и наверху, и внизу.

4. Несётся листок повсюду — через лес, через реку, через деревню.