Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами быть равным 2010?

Да, может.

Для квадратного уравнения с целыми коэффициентами

дискриминант равен

Нужно понять, можно ли получить $D=2010$.

Возьмём самый простой вариант $a=1$. Тогда

Хотим $b^2-4c=2010$, то есть

Чтобы $c$ был целым, нужно, чтобы $b^2-2010$ делилось на 4. Заметим, что $2010\equiv 2\pmod 4$. Квадрат целого числа по модулю 4 бывает только $0$ или $1$. Значит, нам нужно $b^2\equiv 2\pmod 4$? Нет, потому что тогда разность была бы кратна 4. Но $2$ по модулю 4 квадратом не бывает. Значит, при $a=1$ решения нет.

Однако $a$ не обязан быть равен 1. Возьмём, например, $a=2$. Тогда

Хотим $b^2-8c=2010$, то есть

Теперь нужно, чтобы $b^2\equiv 2010\pmod 8$. Посчитаем: $2010\equiv 2\pmod 8$ (так как $2008$ делится на 8).

Квадраты по модулю 8 бывают только $0,1,4$. Действительно:

• если $b$ чётное, $b=2k$, то $b^2=4k^2\equiv 0$ или $4\pmod 8$;

• если $b$ нечётное, то $b^2\equiv 1\pmod 8$.

Числа $2$ среди них нет, значит при $a=2$ тоже не получится.

Попробуем $a=3$:

Нужно $b^2-12c=2010$, то есть

Достаточно подобрать $b$, чтобы $b^2\equiv 2010\pmod{12}$. Считаем:

Квадраты по модулю 12 могут быть $0,1,4,9$ (можно проверить по остаткам $0,1,2,3,4,5$). Остатка 6 среди них нет — значит, и при $a=3$ не выйдет.

Пойдём дальше: возьмём $a=5$:

Требуем $b^2-20c=2010$, то есть