На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связать по две, то останется одна лишняя книга, если по три — то две книги, а если по четыре, то останется три книги. Найди наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям.

Обозначим количество книг через $N$.

По условию:

• если связать по 2, остаётся 1 лишняя:

  $$N \equiv 1 \pmod{2}$$

• если связать по 3, остаётся 2 лишние:

  $$N \equiv 2 \pmod{3}$$

• если связать по 4, остаётся 3 лишние:

  $$N \equiv 3 \pmod{4}$$

Заметим, что во всех трёх случаях остаток на 1 меньше делителя. То есть это эквивалентно:

Значит, число $N+1$ делится и на 2, и на 3, и на 4 одновременно. То есть:

Найдём НОК:

• $2 = 2$

• $3 = 3$

• $4 = 2^2$

Берём максимальные степени простых: $2^2 \cdot 3 = 12$.
Значит,

и тогда

Нужно наименьшее положительное $N$, значит берём $k=1$:

Проверка:

• $11 : 2 = 5$ остаток $1$ ✓

• $11 : 3 = 3$ остаток $2$ ✓

• $11 : 4 = 2$ остаток $3$ ✓

Ответ: 11.