На биссектрисе угла A взята точка B, а на сторонах угла точки C и D, такие, что треугольник ABC равен треугольнику ABD. Докажите, что AD = AC.

Для того чтобы доказать, что $AD = AC$, воспользуемся свойствами треугольников, а также теоремой о равенстве треугольников.

1. Дано:

   • На биссектрисе угла $\angle A$ выбрана точка $B$.

   • Точки $C$ и $D$ лежат на сторонах угла $A$ так, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $ABD$.

2. Равенство треугольников $ABC$ и $ABD$:

   • Из условия задачи следует, что треугольники $ABC$ и $ABD$ равны. То есть, по определению равенства треугольников, их соответствующие стороны и углы равны:

     $$AB = AB \quad (\text{общая сторона}),$$ $$\angle ABC = \angle ABD \quad (\text{углы при вершине } B),$$ $$AC = AD \quad (\text{соответствующие стороны}).$$

3. Использование свойства биссектрисы:
   Биссектриса угла $A$ делит его на два равных угла:

   $$\angle BAC = \angle BAD.$$

4. Заключение:
   Так как треугольники $ABC$ и $ABD$ равны, а их соответствующие стороны $AC$ и $AD$ равны, мы получаем, что

   $$AD = AC.$$

Таким образом, мы доказали, что $AD = AC$.