На белой доске 5×5 Петя закрасил какие-то клетки синим цветом, а какие-то – красным (каждым цветом закрашена хотя бы одна клетка). Никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наибольшее число клеток могло быть закрашено?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно учитывать, что клетки, закрашенные разными цветами, не могут быть соседними по стороне. То есть между красными и синими клетками всегда должна быть хотя бы одна пустая клетка.

На доске 5×5 всего 25 клеток. Чтобы максимально использовать пространство, можно воспользоваться чередованием цветов: таким образом, чтобы клетки одного цвета не соприкасались друг с другом.

Предположим, что клетки одного цвета закрашены в шахматном порядке, где на клетке одного цвета будут располагаться только клетки другого цвета. На доске 5×5 с таким распределением будет чередование красных и синих клеток, а между ними всегда будет пустое пространство.

Рассмотрим две возможные схемы:

1. Сначала красный, затем синий, в шахматном порядке. В этом случае на доске получится 13 клеток одного цвета и 12 клеток другого цвета. Таким образом, можно закрасить максимум 13 клеток одного цвета.

2. Точно так же, если начинать с синей клетки, получаем аналогичное распределение, и также можно закрасить максимум 13 клеток одного цвета.

Таким образом, наибольшее количество клеток, которые можно закрасить, равно 13, при условии, что клетки одного цвета не касаются клеток другого цвета.