На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке. Такое уплотнение повторили еще дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Пусть изначально на прямой было $x$ точек. После первого уплотнения между каждой парой соседних точек мы добавляем по одной новой точке. Таким образом, количество точек увеличивается в два раза (каждая пара точек дает одну новую). После первого уплотнения количество точек стало $2x - 1$.

Затем процесс уплотнения повторяется дважды. На каждом шаге количество точек снова увеличивается в два раза, между каждой парой соседних точек добавляется по одной новой точке.

После второго уплотнения количество точек стало $2(2x - 1) - 1 = 4x - 3$.

После третьего уплотнения количество точек стало $2(4x - 3) - 1 = 8x - 7$.

Мы знаем, что в итоге на прямой оказалось 113 точек, то есть:

Решим это уравнение:

Таким образом, первоначально было отмечено 15 точек.