Розвязать неравенство х²-5х+6<0

Для того чтобы решить неравенство $x^2 - 5x + 6 \geq 0$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Разложим квадратное выражение $x^2 - 5x + 6$ на множители:
   Рассмотрим два числа, которые в сумме дают $-5$ (коэффициент при $x$) и в произведении равны $6$ (свободный член). Такими числами являются $-2$ и $-3$. Таким образом, выражение раскладывается как:

   $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

2. Решим неравенство $(x - 2)(x - 3) \geq 0$.

   Теперь необходимо найти, когда произведение этих двух выражений неотрицательно. Для этого определим, в каких интервалах каждый множитель меняет знак.

   • $x - 2 = 0$, когда $x = 2$,

   • $x - 3 = 0$, когда $x = 3$.

   У нас есть три интервала для анализа:

   • $(-\infty, 2)$,

   • $(2, 3)$,

   • $(3, +\infty)$.

3. Анализируем знак выражения на каждом интервале:

   • На интервале $(-∞, 2)$ оба множителя $(x - 2)$ и $(x - 3)$ отрицательны, так как для любого $x < 2$, оба выражения будут отрицательными. Поэтому произведение $(x - 2)(x - 3)$ будет положительным, потому что два отрицательных числа дают положительный результат.

   • На интервале $(2, 3)$ множитель $(x - 2)$ положителен, а $(x - 3)$ отрицателен, так что произведение будет отрицательным.

   • На интервале $(3, +∞)$ оба множителя $(x - 2)$ и $(x - 3)$ положительны, и их произведение будет положительным.

4. Решение неравенства:
   Мы ищем такие $x$, при которых $(x - 2)(x - 3) \geq 0$, то есть произведение должно быть положительным или равным нулю. Это выполняется:

   • при $x = 2$ (произведение равно 0),

   • при $x = 3$ (произведение также равно 0),

   • на интервалах $(-∞, 2]$ и $[3, +∞)$, где произведение положительное.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-∞, 2] \cup [3, +∞)$.