Напишите уравнение касательной к графику y=cos x/2 в точке с абсциссой равной pi/2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ в точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

   Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для $y$:

   $$y = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

   Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Найти производную функции $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$:

   Для нахождения углового коэффициента касательной нам нужно вычислить производную функции. Используем правило дифференцирования сложных функций:

   $$\frac{d}{dx} \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) = -\sin\left( \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}$$

   Таким образом, производная функции:

   $$y'(x) = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{x}{2} \right)$$

3. Найти угловой коэффициент касательной в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

   Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в производную:

   $$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \right) = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$$

   Мы знаем, что $\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

   $$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

4. Записать уравнение касательной:

   Уравнение касательной имеет вид:

   $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

   где $m$ — угловой коэффициент касательной, $(x_1, y_1)$ — точка касания. В нашем случае $x_1 = \frac{\pi}{2}$