Найти угол между касательной к графику функции \( y = x^4 - 2x^3 + 3 \) в точке с абсциссой \( x_0 = \frac{1}{2} \) и осью \( Ox \).

Чтобы найти угол $\varphi$ между касательной к графику функции

в точке с абсциссой $x_{0} = \dfrac12$ и положительным направлением оси $Ox$, достаточно выполнить три шага.

1. Найти угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке:

Подставляем $x_{0} = \dfrac12$:

Отсюда угловой коэффициент касательной $k = -1$.

2. Связь угла с угловым коэффициентом

Если касательная образует угол $\varphi$ с положительным направлением оси $Ox$, то

Однако угол между двумя прямыми принято брать острым, поэтому используют модуль углового коэффициента:

3. Вычислить угол

Ответ

Касательная к графику функции $y = x^{4} - 2x^{3} + 3$ в точке $x = \dfrac12$ образует с осью $Ox$ угол $\boxed{\varphi = 45^{\circ}\, (\pi/4\,\text{рад})}$.