Найти угол между касательной к графику функции $ y = x^4 - 2x^3 + 3 $ в точке с абсциссой \( x_0

Ответы на вопрос

Отвечает Иванов Руслан.

Чтобы найти угол $\varphi$ между касательной к графику функции

y = x^{4} - 2x^{3} + 3

в точке с абсциссой $x_{0} = \dfrac12$ и положительным направлением оси $Ox$ , достаточно выполнить три шага.

1. Найти угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке:

y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4} - 2x^{3} + 3\bigr) = 4x^{3} - 6x^{2}.

Подставляем $x_{0} = \dfrac12$ :

y'(x_{0}) = 4\left(\frac12\right)^{3} - 6\left(\frac12\right)^{2} = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 6\left(\frac14\right) = \frac12 - \frac32 = -1.

Отсюда угловой коэффициент касательной $k = -1$ .

2. Связь угла с угловым коэффициентом

Если касательная образует угол $\varphi$ с положительным направлением оси $Ox$ , то

\tan\varphi = k.

Однако угол между двумя прямыми принято брать острым, поэтому используют модуль углового коэффициента:

\tan\varphi = |k| = |-1| = 1.

3. Вычислить угол

\varphi = \arctan 1 = 45^{\circ} \; \bigl(\text{или}\; \frac{\pi}{4}\,\text{рад}\bigr).

Ответ

Касательная к графику функции $y = x^{4} - 2x^{3} + 3$ в точке $x = \dfrac12$ образует с осью $Ox$ угол $\boxed{\varphi = 45^{\circ}\, (\pi/4\,\text{рад})}$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Найти угол между касательной к графику функции \( y = x^4 - 2x^3 + 3 \) в точке с абсциссой \( x_0 = \frac{1}{2} \) и осью \( Ox \).