Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \(1 + \sin \alpha\).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $1 + \sin \alpha$ нужно рассмотреть диапазон значений функции синуса $\sin \alpha$.

Функция синуса принимает значения от $-1$ до $1$ для всех значений угла $\alpha$. То есть, для $\sin \alpha$ выполняется неравенство:

Теперь подставим эти крайние значения в выражение $1 + \sin \alpha$:

1. Когда $\sin \alpha = -1$, то:

2. Когда $\sin \alpha = 1$, то:

Таким образом, наименьшее значение выражения $1 + \sin \alpha$ равно $0$, а наибольшее — $2$.

Ответ: наименьшее значение равно $0$, наибольшее — $2$.