Найти производную функции \( y = (5x + 1)^4 \).

Чтобы найти производную функции $y = (5x + 1)^4$, воспользуемся цепным правилом.

1. Сначала обозначим внутреннюю функцию, которая находится в скобках:

   $$u = 5x + 1$$

   Тогда исходная функция преобразуется в:

   $$y = u^4$$

2. Для нахождения производной функции $y = u^4$ применим правило дифференцирования степенной функции:

   $$\frac{dy}{du} = 4u^3$$

3. Теперь найдём производную внутренней функции $u = 5x + 1$:

   $$\frac{du}{dx} = 5$$

4. По цепному правилу производная функции $y = (5x + 1)^4$ будет равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

   Подставляем значения:

   $$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 5$$

5. Теперь заменим $u$ обратно на $5x + 1$:

   $$\frac{dy}{dx} = 4(5x + 1)^3 \cdot 5$$

6. Упростим выражение:

   $$\frac{dy}{dx} = 20(5x + 1)^3$$

Ответ: производная функции $y = (5x + 1)^4$ равна: