Найти косинус, тангенс, котангенс и синус \(2a\), если \(\sin a = 0,5\).

Для решения задачи, начнем с того, что нам известно: $\sin a = 0,5$. Это означает, что угол $a$ может быть углом 30 градусов (или $\frac{\pi}{6}$ радиан), так как $\sin 30^\circ = 0,5$.

Мы можем использовать тригонометрические формулы для удвоенного угла, чтобы найти значения косинуса, тангенса, котангенса и синуса $2a$.

Формулы для удвоенного угла:

1. $\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a$

2. $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$

3. $\tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}$

4. $\cot 2a = \frac{1 - \tan^2 a}{2 \cdot \tan a}$

Шаг 1: Найдем $\cos a$

Для угла $a = 30^\circ$ или $a = \frac{\pi}{6}$, известно, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Рассчитаем $\sin 2a$ и $\cos 2a$

Используем формулы для удвоенного угла:

• $\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a = 2 \cdot 0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}/2$.

• $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - (0,5)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Шаг 3: Найдем $\tan 2a$ и $\cot 2a$

Для тангенса и котангенса удвоенного угла воспользуемся соответствующими формулами:

• $\tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}$. Сначала найдем $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим в формулу для $\tan 2a$:

  $$\tan 2a = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.$$