Решить неравенство \( x^2 - 5|x| + 6 < 0 \).

Решим неравенство $x^2 - 5|x| + 6 < 0$.

1. Разделим на два случая:
   Неравенство содержит модуль $|x|$, поэтому рассмотрим два случая: когда $x \geq 0$ и когда $x < 0$.

Случай 1: $x \geq 0$

Когда $x \geq 0$, $|x| = x$. Подставим это в неравенство:

Это стандартное квадратичное неравенство. Чтобы решить его, сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

Решим его через дискриминант. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, корни:

Теперь, чтобы решить неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$, смотрим на знаки выражения в интервалах, определённых корнями: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, и $(3, \infty)$.

• На интервале $(2, 3)$ функция $x^2 - 5x + 6$ принимает отрицательные значения (это можно проверить, подставив значение внутри интервала, например $x = 2.5$).

• На интервалах $(-\infty, 2)$ и $(3, \infty)$ функция принимает положительные значения.

Итак, для $x \geq 0$, неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ выполняется на интервале $(2, 3)$.

Случай 2: $x < 0$

Когда $x < 0$, $|x| = -x$. Подставим это в неравенство:

Упростим:

Решим это квадратное неравенство. Сначала решим квадратное уравнение:

Для этого найдём дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, корни:

Теперь анализируем знаки функции $x^2 + 5x + 6$ на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, и $(-2, \infty)$.

• На интервале $(-3, -2)$ функция $x^2 + 5x + 6$