Sin2x - sin4x = 0. Как решать?

Для решения уравнения $\sin(2x) - \sin(4x) = 0$ используем следующие шаги:

1. Перепишем уравнение:

   Уравнение $\sin(2x) - \sin(4x) = 0$ можно представить как:

   $$\sin(2x) = \sin(4x)$$

2. Используем формулу для разности синусов:

   Существует формула для разности синусов, которая выглядит так:

   $$\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A - B}{2}\right)$$

   Подставим $A = 4x$ и $B = 2x$:

   $$\sin(4x) - \sin(2x) = 2 \cos \left( \frac{4x + 2x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{4x - 2x}{2} \right)$$

   Получаем:

   $$\sin(4x) - \sin(2x) = 2 \cos(3x) \cdot \sin(x)$$

   Поскольку у нас в исходном уравнении знак минус, то уравнение будет равно:

   $$2 \cos(3x) \cdot \sin(x) = 0$$

3. Решение уравнения:

   Уравнение $2 \cos(3x) \cdot \sin(x) = 0$ даёт два возможных варианта решения:

   • $\cos(3x) = 0$

   • $\sin(x) = 0$

   Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

4. Решение для $\cos(3x) = 0$:

   Мы знаем, что $\cos(\theta) = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Таким образом:

   $$3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

   Разделим обе стороны на 3:

   $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$$

5. Решение для $\sin(x) = 0$:

   Мы знаем, что $\sin(x) = 0$ при $x = k\pi$, где $k$ — целое число.

6. Общее решение:

   Собрав все решения, получаем:

   $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad x = k\pi$$

   Таким образом, решения уравнения $\sin(2x) - \sin(4x) = 0$ — это значения $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$ и $x = k\pi$, где $k$ — целое число.