sin(π(x-3)/4) = √2/2. Найти наибольший положительный корень?

Для того чтобы решить уравнение $\sin\left(\frac{\pi(x-3)}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, нужно найти наибольший положительный корень.

1. Известно, что $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при $\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ или $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

2. Для нашего уравнения:

   $$\frac{\pi(x-3)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi(x-3)}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$$

3. Разберем каждое из этих уравнений:

   • Первое уравнение:

     $$\frac{\pi(x-3)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi.$$

     Умножим обе части на 4 и поделим на $\pi$:

     $$x - 3 = 1 + 8k.$$

     Следовательно:

     $$x = 4 + 8k.$$

   • Второе уравнение:

     $$\frac{\pi(x-3)}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$$

     Аналогично, умножим обе части на 4 и поделим на $\pi$:

     $$x - 3 = 3 + 8k,$$

     отсюда:

     $$x = 6 + 8k.$$

4. Таким образом, получаем два семейства решений:

   • $x = 4 + 8k$,

   • $x = 6 + 8k$.

5. Чтобы найти наибольший положительный корень, подставим различные значения $k$:

   • Для $x = 4 + 8k$:

     • При $k = 0$, $x = 4$.

     • При $k = 1$, $x = 12$.

     • При $k = -1$, $x = -4$ (не подходит, так как корень должен быть положительным).

   • Для $x = 6 + 8k$:

     • При $k = 0$, $x = 6$.

     • При $k = 1$, $x = 14$.

     • При $k = -1$, $x = -2$ (не подходит).

6. Наибольший положительный корень среди найденных значений: $x = 14$.

Ответ: наибольший положительный корень уравнения $\sin\left(\frac{\pi(x-3)}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это $x = 14$.