Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти среди 16 одинаковых по виду монет одну фальшивую (более лёгкую)?

Минимум — 3 взвешивания.

Почему нельзя меньше 3

Одно взвешивание на чашечных весах даёт 3 исхода:

1. левая чаша легче,

2. правая чаша легче,

3. равновесие.

Значит, за $k$ взвешиваний можно различить максимум $3^k$ вариантов.
Нужно найти одну лёгкую монету среди 16, то есть различить 16 вариантов.

• $3^2 = 9$ — мало (не хватит, чтобы однозначно указать одну из 16),

• $3^3 = 27$ — уже достаточно.

Следовательно, меньше чем за 3 взвешивания гарантированно нельзя, а за 3 — можно.

Как уложиться в 3 взвешивания (стратегия)

Обозначим монеты просто как группы, важен только способ деления.

1-е взвешивание

Разделите 16 монет на группы: 5 + 5 + 6.

• Взвесьте 5 монет против 5 монет.

Случай A: равновесие
Значит, все эти 10 монет настоящие, а фальшивая (лёгкая) — среди оставшихся 6.

Тогда работаем с этими 6 монетами:

2-е взвешивание (внутри 6)

Разделите 6 монет как 2 + 2 + 2 и взвесьте 2 против 2.

• Если равновесие, фальшивая среди оставшихся 2.

• Если неравновесие, фальшивая среди двух монет на более лёгкой чаше.

3-е взвешивание

В любом из двух подслучаев у вас остаются ровно 2 кандидата.
Взвесьте 1 против 1 — какая окажется легче, та и фальшивая.

Итого в этом случае: 3 взвешивания.

Случай B: в 1-м взвешивании одна чаша легче
Тогда фальшивая монета находится среди тех 5 монет, которые оказались на лёгкой чаше.
Все монеты с другой чаши и из оставшихся 6 — настоящие (и при желании могут служить “эталонами”, хотя дальше это даже не обязательно).

Дальше ищем лёгкую среди 5:

2-е взвешивание (внутри 5)

Возьмите из этих 5 монет 4 и взвесьте 2 против 2.

• Если одна сторона легче — фальшивая среди этих 2 на лёгкой стороне.

• Если равновесие — фальшивая это 5-я, оставшаяся в стороне.

3-е взвешивание

• Если после 2-го взвешивания осталось 2 кандидата: взвесьте 1 против 1 — лёгкая и есть фальшивая.

• Если после 2-го взвешивания равновесие, то фальшивая уже определена (это отложенная 5-я). Но по условию “каким числом взвешиваний можно найти” обычно считают гарантированное в худшем случае, а худший случай здесь всё равно требует 3-го взвешивания в ветке с неравновесием.

Итог

• Меньше 3 нельзя (информационный предел: $3^2 < 16$).

• 3 достаточно (описанный алгоритм всегда находит лёгкую монету не более чем за 3 взвешивания).

Ответ: 3 взвешивания.