Теплоход прошел 60 км по течению реки и 36 км против течения, затратив на весь путь 8 ч. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3км/ч?

Решим задачу пошагово, используя обозначения и основные формулы из физики движения по реке.

Дано:

1. Теплоход прошел 60 км по течению реки и 36 км против течения.
2. На весь путь было затрачено 8 часов.
3. Скорость течения реки $v_{\text{реки}} = 3$ км/ч.

Требуется найти: собственную скорость теплохода (обозначим её за $v_{\text{теплохода}}$).

Шаг 1: Составим уравнения для движения по течению и против течения

1. При движении по течению:

   • Общая скорость теплохода составит $v_{\text{теплохода}} + v_{\text{реки}}$.
   • Время, затраченное на движение по течению, можно найти как $t_{\text{по течению}} = \frac{S_{\text{по течению}}}{v_{\text{теплохода}} + v_{\text{реки}}}$, где $S_{\text{по течению}} = 60$ км.

2. При движении против течения:

   • Общая скорость теплохода составит $v_{\text{теплохода}} - v_{\text{реки}}$.
   • Время, затраченное на движение против течения, можно найти как $t_{\text{против течения}} = \frac{S_{\text{против течения}}}{v_{\text{теплохода}} - v_{\text{реки}}}$, где $S_{\text{против течения}} = 36$ км.

Шаг 2: Запишем уравнение для общего времени

Общее время в пути составило 8 часов, поэтому можем записать уравнение:

Шаг 3: Решим уравнение

Для удобства обозначим собственную скорость теплохода как $v_{\text{теплохода}} = x$. Тогда наше уравнение примет вид:

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на $(x + 3)(x - 3)$:

Раскроем скобки:

Соберем все в одну сторону:

Приведем подобные члены:

И найдем