Точка M является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника MCD равна 28.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания — $AD \parallel BC$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$.

Обозначим:

• $AD = d$, $BC = b$,

• высоту трапеции $h$ (расстояние между прямыми $AD$ и $BC$).

Тогда площадь трапеции равна

Теперь найдём площадь треугольника $MCD$. Удобно рассмотреть координаты (это стандартный приём, чтобы увидеть зависимость только от оснований и высоты):

Расположим трапецию так, чтобы $AD$ лежало на оси $x$:

• $A(0,0)$, $D(d,0)$,

• верхнее основание $BC$ на высоте $h$: $B(x_0,h)$, $C(x_0+b,h)$ (число $x_0$ — сдвиг верхнего основания, он нам не важен).

Тогда середина $M$ отрезка $AB$:

Площадь треугольника $MCD$ вычисляется по формуле через векторное произведение (детерминант):

Векторы:

Детерминант:

Тогда

Сравним с площадью трапеции:

Значит площадь трапеции в 2 раза больше площади треугольника $MCD$.

Дано $S_{MCD}=28$, поэтому