Дана функция \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Рассмотрим функцию

1) Найдём производную

2) Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда

Эти точки делят числовую прямую на интервалы:

3) Определим знак производной на интервалах

Так как множитель $3>0$, знак $f'(x)$ определяется выражением $(x-1)(x+1)$.

• На $(-\infty,-1)$: возьмём $x=-2$. Тогда $(x-1)(x+1)=(-3)(-1)=3>0$, значит $f'(x)>0$ — функция возрастает.

• На $(-1,1)$: возьмём $x=0$. Тогда $(x-1)(x+1)=(-1)(1)=-1<0$, значит $f'(x)<0$ — функция убывает.

• На $(1,\infty)$: возьмём $x=2$. Тогда $(x-1)(x+1)=(1)(3)=3>0$, значит $f'(x)>0$ — функция возрастает.

Ответ

• Возрастает на $(-\infty,-1)$ и $(1,\infty)$.

• Убывает на $(-1,1)$.