Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние

Ответы на вопрос

Отвечает Ростунов Александр.

Пусть из точки $P$ к окружности проведены касательные $PA$ и $PB$ , точки касания — $A$ и $B$ . Дано:

PA=PB=12\text{ см},\qquad AB=14{,}4\text{ см}.

Найти радиус $r$ .

Треугольник $PAB$ равнобедренный, потому что $PA=PB$ . Обозначим угол между касательными:

\angle APB = \theta.

По теореме косинусов для треугольника $PAB$ :

AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos\theta.

Подставляем числа:

14{,}4^2 = 12^2 + 12^2 - 2\cdot 12\cdot 12\cdot \cos\theta.

Считаем:

207{,}36 = 288 - 288\cos\theta,

288\cos\theta = 288 - 207{,}36 = 80{,}64,

\cos\theta = \frac{80{,}64}{288} = 0{,}28.

Пусть $O$ — центр окружности. Тогда центральный угол, опирающийся на хорду $AB$ , равен

\angle AOB = 180^\circ - \theta.

Это стандартный факт: угол между двумя касательными равен $180^\circ$ минус соответствующий центральный угол.

Длина хорды через радиус и центральный угол:

AB = 2r\sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right).

Подставим $\angle AOB = 180^\circ - \theta$ :

AB = 2r\sin\left(\frac{180^\circ - \theta}{2}\right) = 2r\sin\left(90^\circ - \frac{\theta}{2}\right) = 2r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Теперь найдём $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ по формуле половинного угла:

\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1+\cos\theta}{2} =\frac{1+0{,}28}{2} =\frac{1{,}28}{2} =0{,}64.

Значит

\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=0{,}8

(берём положительное значение, так как $\theta$ — острый угол).

Подставляем в формулу хорды:

14{,}4 = 2r\cdot 0{,}8 = 1{,}6r,

r=\frac{14{,}4}{1{,}6}=9.

Ответ: $r=9$ см.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Найти радиус окружности.