Найдите производную функции y=1+cosx/sinx

Для нахождения производной функции $y = 1 + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Сначала разделим функцию на две части:

   $$y = 1 + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

   Для первой части $1$, производная равна нулю:

   $$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

2. Теперь найдем производную второй части $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Для этого применим правило дифференцирования частного:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$

   где $u(x) = \cos(x)$, а $v(x) = \sin(x)$.

   Производные этих функций:

   $$u'(x) = -\sin(x), \quad v'(x) = \cos(x)$$

   Подставим эти значения в формулу:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \frac{\sin(x)(-\sin(x)) - \cos(x)\cos(x)}{(\sin(x))^2}$$

   Упростим числитель:

   $$= \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{(\sin(x))^2}$$

   Напоминаем, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, следовательно:

   $$= \frac{-1}{(\sin(x))^2}$$

   или

   $$= -\csc^2(x)$$

   (где $\csc(x)$ — это котангенс, обратная функция синуса).

3. Объединим все части:

   $$\frac{dy}{dx} = 0 - \csc^2(x) = -\csc^2(x)$$

Ответ: производная функции $y = 1 + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ равна $\frac{dy}{dx} = -\csc^2(x)$.