Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Какими должны быть его стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть равнобедренный треугольник имеет стороны $a, a$ и основание $b$. Тогда по условию

где $a>0$ и должно выполняться неравенство треугольника $b<2a$, то есть $18-2a<2a \Rightarrow a>4{,}5$. Также $b>0 \Rightarrow a<9$. Значит, $a\in(4{,}5;9)$.

Высота к основанию:

Площадь

Упростим подкоренное выражение:

Тогда

Чтобы найти максимум, удобнее максимизировать квадрат площади (это не меняет точку максимума, так как $S\ge 0$):

Рассмотрим функцию

Сделаем замену $x=9-a$. Тогда $x\in(0;4{,}5)$, а

и

Найдём максимум:

Критические точки: $x=0$ (даёт площадь 0) и $x=3$. На интервале $(0;4{,}5)$ точка $x=3$ даёт максимум (так как $f'(x)>0$ при $0$ и $f'(x)<0$ при $3$).

Значит, $x=3\Rightarrow 9-a=3\Rightarrow a=6$