В одной координатной плоскости построить графики функций: у = 2х; у = 2х + 3; у = 2х - 2. Ответить на вопросы: 1) Графики функций представляют собой… 2) В каких координатных четвертях проходят графики? 3) Каково значение коэффициента по знаку?

Нам даны три линейные функции:

• $y = 2x$

• $y = 2x + 3$

• $y = 2x - 2$

У всех трёх функций коэффициент при $x$ одинаковый: $k = 2$. Это значит, что наклон (угол подъёма) у всех одинаковый, а отличаются они только свободным членом $b$ (сдвигом вверх/вниз).

Как построить на одной плоскости

1) $y = 2x$

Это прямая через начало координат.
Возьмём пару точек:

• при $x = 0$: $y = 0$ → $(0;\,0)$

• при $x = 1$: $y = 2$ → $(1;\,2)$
  (можно ещё: при $x=-1$: $y=-2$ → $(-1;\,-2)$)

Соединяем точки — получаем прямую.

2) $y = 2x + 3$

Это та же прямая с тем же наклоном, но сдвинута вверх на 3.
Точки:

• при $x = 0$: $y = 3$ → $(0;\,3)$

• при $x = 1$: $y = 5$ → $(1;\,5)$
  Пересечение с осью $Ox$: $0 = 2x + 3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$ → $\left(-\frac{3}{2};\,0\right)$

3) $y = 2x - 2$

Та же прямая, но сдвинута вниз на 2.
Точки:

• при $x = 0$: $y = -2$ → $(0;\,-2)$

• при $x = 1$: $y = 0$ → $(1;\,0)$
  Пересечение с осью $Ox$: $0 = 2x - 2 \Rightarrow x = 1$ → $(1;\,0)$

После построения видно: все три прямые параллельны, потому что у всех одинаковый коэффициент наклона $k=2$.

Ответы на вопросы

1) Графики функций представляют собой…

Прямые линии (линейные функции), причём параллельные друг другу.
Параллельность объясняется тем, что во всех трёх функциях одинаковый коэффициент при $x$: $k = 2$.

2) В каких координатных четвертях проходят графики?

Разберём каждую прямую.

$y = 2x$

• при $x>0$ получаем $y>0$ → I четверть

• при $x<0$ получаем $y<0$ → III четверть
  Итог: проходит через I и III (и через начало координат).

$y = 2x + 3$

Пересечения:

• с осью $Oy$: $(0;3)$ — выше нуля

• с осью $Ox$: $x=-\frac{3}{2}$ — слева от нуля

Проверим четверти по участкам:

• при больших положительных $x$: $y>0$ → I четверть

• при $x$ немного отрицательных (например $x=-1$): $y=2(-1)+3=1>0$ → II четверть

• при больших отрицательных $x$: $y<0$ (например $x=-2$: $y=-1$) → III четверть
  В IV четверть не попадает, потому что при $x>0$ значение $y = 2x+3$ всегда положительное.
  Итог: проходит через I, II, III.

$y = 2x - 2$

Пересечения:

• с осью $Oy$: $(0;-2)$ — ниже нуля

• с осью $Ox$: $(1;0)$

Проверим четверти:

• при больших положительных $x$: $y>0$ → I четверть

• при $0$: $x>0$, но $y<0$ (например $x=0.5$: $y=-1$) → IV четверть

• при $x<0$: $y=2x-2<0$