Приведите пример числа, имеющего ровно 10 различных делителей. Обоснуйте свой ответ.

Пример числа с ровно 10 различными делителями — 72? Давайте проверим.

Для начала, чтобы число имело ровно 10 делителей, удобно воспользоваться формулой из теории чисел: если число раскладывается на простые множители как

то количество положительных делителей числа $n$ равно

Нам нужно, чтобы $d(n) = 10$. Число 10 раскладывается как $10 = 2 \cdot 5$ или $10 = 10 \cdot 1$.

Варианты разложения:

1. Один простой множитель: $n = p^9$, тогда $d(n) = 9+1 = 10$. Например, $2^9 = 512$. Проверим: делители 512 — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Ровно 10 делителей. ✅

2. Два простых множителя: $n = p^1 \cdot q^4$ или $n = p^4 \cdot q^1$, так как $(1+1)(4+1) = 2\cdot5 = 10$.

   • Пример: $2^1 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$. Проверим делители: 1, 2, 3, 9, 27, 81, 6, 18, 54, 162. Тоже 10 делителей. ✅

Таким образом, число 162 является примером числа с ровно 10 различными делителями.

Обоснование:

• Разложение на простые множители: $162 = 2^1 \cdot 3^4$.

• Формула для количества делителей: $(1+1)\cdot(4+1) = 2 \cdot 5 = 10$.

• Все делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162 — ровно 10 различных чисел.

Если хотите, можно привести ещё несколько примеров, используя ту же схему разложения.