натуральное число имеет ровно 6 различных натуральных делителей включая таким И Н произведение пяти из них равна 648 Какое из чисел а-д является шестым делителем

Решение задачи:

Нам дано натуральное число, которое имеет ровно 6 различных натуральных делителей, и известно, что произведение пяти из них равно $648$. Нужно определить, какое из предложенных чисел может быть шестым делителем.

1. Общий подход к задаче:

Число с 6 делителями имеет вид:

где $p_1$ и $p_2$ — простые числа, а $a$ и $b$ — их показатели в разложении. Формула количества делителей такого числа:

Для 6 делителей возможно два варианта:

• $n = p^5$, где $p$ — простое число (в этом случае $d(n) = 6$).
• $n = p^2 \cdot q$, где $p$ и $q$ — простые числа ($d(n) = (2+1)(1+1) = 6$).

2. Связь делителей:

Шесть делителей числа $n$ будут упорядочены как:

Произведение всех делителей числа $n$ равно $n^{d(n)/2}$. В данном случае:

Поскольку известно, что произведение пяти из шести делителей равно $648$, мы можем выразить шестой делитель ($d_6$):

3. Разложение 648:

Сначала разложим число $648$ на простые множители:

4. Возможные варианты $n$:

• Если $n = p^5$: Тогда делители числа: $1, p, p^2, p^3, p^4, p^5$. Но при этом произведение делителей $1 \cdot p \cdot p^2 \cdot p^3 \cdot p^4 \cdot p^5 = n^3 = p^{15}$. Условие задачи (произведение пяти делителей равно $648$) не выполняется.

• Если $n = p^2 \cdot q$: В этом случае делители числа: $1, p, q, p^2, pq, p^2q$. Условие о 6 делителях выполняется, и произведение всех делителей:

  $$1 \cdot p \cdot q \cdot p^2 \cdot pq \cdot p^2q = (p^2q)^3 = n^3.$$

  Если произведение пяти делителей равно $648$, шестой делитель можно найти как:

  $$d_6 = \frac{n^3}{648}.$$

5. Подстановка чисел:

Допустим, $n = p^2 \cdot q$, где $p = 2$ и $q = 3$. Тогда:

Делители числа $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Проверим:

• Произведение любых пяти делителей (например, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 = 144$) не равно $648$.

Попробуем другой набор простых чисел $p$ и $q$.

Если заданные варианты чисел $a, b, c, d$, шестой делитель определяется точным делением $n$ на $648$, поэтому при необходимости уточните варианты для окончательного ответа.