1. Решите уравнения: а) корень(x^2-4x) = корень (6-3x) b)корень(3x+1)=x-1 c)2 корень (x) - корень в

Ответы на вопрос

Отвечает Мыльников Андрей.

Разберём все уравнения по порядку.

1. Решите уравнения

а) $\sqrt{x^2 - 4x} = \sqrt{6 - 3x}$

Сначала найдём область допустимых значений.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

x^2 - 4x \ge 0

x(x - 4) \ge 0

Отсюда:

x \le 0 \quad \text{или} \quad x \ge 4

Также:

6 - 3x \ge 0

-3x \ge -6

x \le 2

Общая область допустимых значений:

x \le 0

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

x^2 - 4x = 6 - 3x

Перенесём всё в одну сторону:

x^2 - 4x + 3x - 6 = 0

x^2 - x - 6 = 0

Разложим на множители:

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

(x - 3)(x + 2) = 0

Отсюда:

x = 3

или

x = -2

Но по области допустимых значений подходит только $x \le 0$ , значит $x = 3$ не подходит.

Ответ:

x = -2

b) $\sqrt{3x + 1} = x - 1$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

3x + 1 \ge 0

x \ge -\frac{1}{3}

Кроме того, левая часть уравнения всегда неотрицательна, значит правая часть тоже должна быть неотрицательной:

x - 1 \ge 0

x \ge 1

Итак, область допустимых значений:

x \ge 1

Возведём обе части уравнения в квадрат:

3x + 1 = (x - 1)^2

Раскроем скобки:

3x + 1 = x^2 - 2x + 1

Перенесём всё в одну сторону:

0 = x^2 - 2x + 1 - 3x - 1

x^2 - 5x = 0

Вынесем $x$ за скобку:

x(x - 5) = 0

Отсюда:

x = 0

или

x = 5

Но по области допустимых значений $x \ge 1$ , поэтому $x = 0$ не подходит.

Проверим $x = 5$ :

\sqrt{3 \cdot 5 + 1} = 5 - 1

\sqrt{16} = 4

4 = 4

Ответ:

x = 5

c) $2\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} = 1$

Область допустимых значений:

x \ge 0

Сделаем замену:

\sqrt[4]{x} = t

Тогда:

t \ge 0

Так как

\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^2

Ответы на вопрос