В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН-высота, АВ=34, tgA=1/4. Найдите АН.

В треугольнике $ABC$ нам даны следующие данные:

1. $\angle C = 90^\circ$ (треугольник прямоугольный),
2. $AB = 34$ (гипотенуза),
3. $\tan A = \frac{1}{4}$,
4. $CH$ — высота, проведенная из вершины $C$ к гипотенузе $AB$,
5. Необходимо найти $AH$.

Решение состоит из нескольких этапов.

Шаг 1: Определим стороны треугольника $ABC$

Пусть:

• $AC = x$ — катет, противолежащий углу $B$,
• $BC = y$ — катет, противолежащий углу $A$.

Так как $\tan A = \frac{1}{4}$, то

Из этого уравнения следует, что $x = \frac{1}{4}y$.

Шаг 2: Используем теорему Пифагора

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ имеем:

Подставим значения:

Заменим $x$ на $\frac{1}{4}y$:

Раскроем скобки:

Приведем к общему знаменателю:

Теперь умножим обе части уравнения на 16:

Разделим на 17:

Теперь извлечем квадратный корень:

Подставим это значение в выражение для $x$:

Шаг 3: Найдем $AH$

Так как $CH$ является высотой, проведенной к гипотенузе, точка $H$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка, $AH$ и $HB$, такие, что