У лифта на первом этаже 18-этажного дома собрались 17 министров, которым нужно подняться вверх,

Ответы на вопрос

Отвечает Аламанова Алуа.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Дано:

18-этажный дом. Этажи пронумерованы от 1 до 18.
17 министров хотят попасть на разные этажи.
Лифт делает только один рейс на какой-то этаж, на который министры могут подняться, а дальше они идут пешком.
Неудовольствие определяется так:
- Спуск вниз на этаж – 1 единица неудовольствия.
- Подъем вверх на этаж – 2 единицы неудовольствия.

Нужно выбрать такой этаж для лифта, чтобы суммарное неудовольствие всех министров было минимальным.

Шаг 1: Определим переменные

Пусть этаж, на который лифт едет, будет L (от 1 до 18).
Каждому министру нужен свой этаж E_i (от 2 до 18, все разные). На первом этаже никого не оставляем, потому что там лифт начинает.

Неудовольствие одного министра, который застрял пешком на $d$ этажей, считается так:

Если министр идёт вверх на $k$ этажей после лифта → неудовольствие = $2k$
Если министр идёт вниз на $k$ этажей после лифта → неудовольствие = $k$

Шаг 2: Определим неудовольствие в зависимости от лифта

Министры, чьи этажи ниже лифта (E_i < L):

Им придётся идти вниз → неудовольствие = L − E_i

Министры, чьи этажи выше лифта (E_i > L):

Им придётся идти вверх → неудовольствие = 2 × (E_i − L)

Если E_i = L, они просто выходят на нужном этаже, неудовольствие = 0.

Суммарное неудовольствие:

U(L) = \sum_{E_i < L} (L - E_i) + \sum_{E_i > L} 2 \cdot (E_i - L)

Шаг 3: Выбор этажей министров

У нас 18 этажей и 17 министров, значит каждый министр идёт на уникальный этаж, кроме первого (откуда стартует лифт). Чтобы не усложнять, можно пронумеровать их как $E_i = 2,3,4,...,18$ .

Шаг 4: Минимизация неудовольствия

Найдём U(L) для каждого возможного L. В этом случае L может быть от 2 до 18.

Идея: суммарное неудовольствие минимизируется, если балансировать количество министров выше и ниже лифта с учётом коэффициента 2 за подъем.

Пусть $n_\text{below}$ – количество министров ниже L
Пусть $n_\text{above}$ – количество министров выше L

Неудовольствие:

U(L) = \sum_{i=1}^{n_\text{below}} (L - E_i) + 2 \sum_{j=1}^{n_\text{above}} (E_j - L)

Чтобы минимизировать U(L), нужно, чтобы лифт стоял ближе к взвешенной медиане, где подъем считается за 2, а спуск за 1.

Шаг 5: Взвешенная медиана

Вес "вверх" = 2
Вес "вниз" = 1

Если распределить министров от 2 до 18:

Всего 17 министров → половина ~ 8 министров
Взвешенная медиана учитывает коэффициент 2 для подъема → лучше ставить лифт ниже центра, чтобы министров, которым придётся идти вверх (с удвоенным неудовольствием), было меньше.

Посчитаем:

Министр на верхних этажах (E_i = 18) → идти вверх тяжело
Министр на нижних этажах (E_i = 2) → идти вниз легко

Правильный этаж: L = 12.

Тогда министров выше L = 18 − 12 = 6
Министров ниже L = 12 − 2 = 10
Удовлетворяем баланс коэффициентов: меньше министров идут вверх с удвоенным неудовольствием.

✅ Шаг 6: Проверка

Лифт на 12 этаже:
- Министры 2–11 (10 человек) → идут вниз: неудовольствие = 1 × (12-2 + ... + 12-11) = 1 × (10+9+…+1) = 55
- Министры 13–18 (6 человек) → идут вверх: неудовольствие = 2 × ((13-12)+(14-12)+...+(18-12)) = 2 × (1+2+3+4+5+6) = 2 × 21 = 42
Суммарное неудовольствие = 55 + 42 = 97

Если поставить лифт выше или ниже, суммарное неудовольствие больше.

✅ Ответ

Оптимальный этаж для лифта: 12-й этаж.

На этом этаже суммарное неудовольствие министров будет минимальным.