Точки E и F - соответственно середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. докажите что четырёхугольник AECD - параллелограмм

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ и точки $E$ и $F$, которые являются серединами сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Требуется доказать, что четырёхугольник $AECD$ является параллелограммом.

Шаг 1: Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Это значит, что:

1. $AB \parallel CD$ и $AB = CD$,
2. $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.

Шаг 2: Середины сторон

Точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно, что означает:

• $BE = EC$,
• $AF = FD$.

Шаг 3: Рассмотрим отрезки $AE$ и $CD$

1. Так как $AB \parallel CD$ (по свойству параллелограмма) и $E$ — середина отрезка $BC$, отрезок $AE$ будет параллелен $CD$.
2. Отметим также, что $AE$ и $CD$ будут равны, так как $AB = CD$, а точка $E$ является серединой стороны $BC$.

Шаг 4: Рассмотрим отрезки $AD$ и $EC$

1. Поскольку $AD \parallel BC$ и $F$ является серединой стороны $AD$, отрезок $EC$ будет параллелен $AD$.
2. Отрезок $EC$ также равен $AD$, так как $AD = BC$ и $E$ — середина $BC$.

Шаг 5: Вывод

Из вышеизложенного следует, что в четырёхугольнике $AECD$:

• $AE \parallel CD$ и $AE = CD$,
• $AD \parallel EC$ и $AD = EC$.

По определению, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Таким образом, $AECD$ — параллелограмм.

Заключение

Мы доказали, что четырёхугольник $AECD$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны и равны.