Помогите вычислить: cos510° - sin1200° - tg1005°

Ответы на вопрос

Отвечает Алексеев Никита.

Хорошо, давай разберём это шаг за шагом. Нам нужно вычислить:

\cos 510^\circ - \sin 1200^\circ - \tan 1005^\circ

Так как тригонометрические функции периодичны, можно использовать периодичность:

510^\circ = 360^\circ + 150^\circ

\cos 510^\circ = \cos 150^\circ

1200^\circ \div 360^\circ = 3 \text{ полных оборота } + 120^\circ

\sin 1200^\circ = \sin 120^\circ

1005^\circ \div 180^\circ = 5 \text{ полных периодов } + 105^\circ

\tan 1005^\circ = \tan 105^\circ

$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 105^\circ = \tan (180^\circ - 75^\circ) = -\tan 75^\circ$

Теперь нужно значение $\tan 75^\circ$ . Используем формулу суммы:

\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

Применим рационализацию:

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Ответы на вопрос