Составьте многочлен второй степени, который имел бы двойной корень.

Чтобы составить многочлен второй степени с двойным корнем, нужно сначала понять, что такое двойной корень.

Двойной корень — это значение $x = r$, при котором многочлен $ax^2 + bx + c$ равен нулю, и при этом его производная $2ax + b$ также равна нулю в этой точке. Иными словами, если $r$ — корень с кратностью 2, то многочлен можно записать как:

где $a \neq 0$ — любое число (коэффициент при $x^2$).

Например, если взять $r = 3$ и $a = 1$, получим многочлен:

Проверка:

• Корень $x = 3$, при подстановке в $x^2 - 6x + 9$ получаем $0$.

• Производная $2x - 6$, при $x = 3$ тоже равна $0$. Это и подтверждает, что корень двойной.

Таким образом, общая форма многочлена второй степени с двойным корнем:

где $a \neq 0$, а $r$ — желаемый корень.

Примеры конкретных многочленов с двойным корнем:

1. $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

2. $2(x + 4)^2 = 2x^2 + 16x + 32$

3. $-3(x - 5)^2 = -3x^2 + 30x - 75$

Каждый из них имеет один двойной корень.