Tg (a + π/4), если cos2a=1/3; a ∈ (0; π/2)

Давай разберём шаг за шагом, как найти $\tan(a + \pi/4)$, если $\cos 2a = \frac{1}{3}$ и $a \in (0, \pi/2)$.

Шаг 1: Связь между $\cos 2a$ и $\tan a$

Мы знаем формулу:

Подставляем $\cos 2a = \frac{1}{3}$:

Шаг 2: Решаем уравнение для $\tan a$

Перемножаем крест-накрест:

Так как $a \in (0, \pi/2)$, тангенс положителен, значит берём положительный корень.

Шаг 3: Формула для $\tan(a + \pi/4)$

Используем формулу суммы тангенсов:

Так как $\tan(\pi/4) = 1$:

Подставляем $\tan a = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

Шаг 4: Преобразуем выражение

Приведём к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

Числитель: $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{2} + 2}{2}$

Знаменатель: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$