Вопрос задан 05.06.2026 в 16:43. Предмет Математика. Спрашивает Грязнов Коля.

sin^6(x) = 1/4 - cos^6(x)

Перейти к ответам

Ответы на вопрос

Отвечает Смирный Александр.

Решим уравнение:

sin6x=14cos6x\sin^6 x = \frac14 - \cos^6 x

Перенесём cos6x\cos^6 x в левую часть:

sin6x+cos6x=14\sin^6 x + \cos^6 x = \frac14

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Заметим, что

sin6x=(sin2x)3,cos6x=(cos2x)3\sin^6 x = (\sin^2 x)^3, \qquad \cos^6 x = (\cos^2 x)^3

Пусть

a=sin2x,b=cos2xa=\sin^2 x,\qquad b=\cos^2 x

Тогда

a+b=sin2x+cos2x=1a+b=\sin^2 x+\cos^2 x=1

А уравнение принимает вид:

a3+b3=14a^3+b^3=\frac14

Используем формулу:

a3+b3=(a+b)33ab(a+b)a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

Так как a+b=1a+b=1, получаем:

a3+b3=13aba^3+b^3=1-3ab

Значит,

13ab=141-3ab=\frac14 3ab=343ab=\frac34 ab=14ab=\frac14

Возвращаемся к aa и bb:

sin2xcos2x=14\sin^2 x \cos^2 x=\frac14

Но

sin2xcos2x=(sinxcosx)2\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2

Также известно, что

sinxcosx=12sin2x\sin x \cos x = \frac12 \sin 2x

Тогда

(sinxcosx)2=(12sin2x)2(\sin x \cos x)^2=\left(\frac12 \sin 2x\right)^2 14sin22x=14\frac14 \sin^2 2x=\frac14

Умножаем на 44:

sin22x=1\sin^2 2x=1

Отсюда

sin2x=±1\sin 2x=\pm 1

Это происходит при

2x=π2+πk,kZ2x=\frac\pi2+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z

Делим на 22:

x=π4+πk2,kZx=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z

Ответ:

x=π4+πk2,kZ\boxed{x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z}

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика

Задать вопрос