Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, то каждый раз один оставался лишним, а когда построились в колонну по 7, лишних не осталось. Каким могло быть наименьшее количество солдат?

Для решения этой задачи нужно найти наименьшее положительное число солдат $N$, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. При делении на 4, 5 и 6 число $N$ оставляет остаток 1.
2. При делении на 7 оно делится нацело, то есть не оставляет остатка.

Мы можем выразить условия в виде системы сравнений по модулю:

Это значит, что $N - 1$ должно быть кратно 4, 5 и 6 одновременно, а $N$ должно делиться на 7.

Теперь разберёмся с первыми тремя условиями. Чтобы $N - 1$ делилось на 4, 5 и 6, оно должно быть кратно наименьшему общему кратному этих чисел. Найдём это наименьшее общее кратное (НОК):

Таким образом, $N - 1 = 60k$, где $k$ — некоторое целое число. Отсюда следует, что $N = 60k + 1$.

Теперь добавим последнее условие: $N$ должно делиться на 7, то есть $N \equiv 0 \pmod{7}$. Подставим выражение для $N$ из предыдущего шага:

Упростим это уравнение. Заметим, что $60 \equiv 4 \pmod{7}$, значит, уравнение примет вид:

Переносим 1 вправо:

Или, что то же самое:

Теперь найдем значение $k$, при котором это равенство выполняется. Попробуем поочередно подставить значения для $k$ и проверим, при каком значении левая часть станет равной 6 (по модулю 7):

• Если $k = 0$, то $4 \cdot 0 = 0$ (не подходит).
• Если $k = 1$, то $4 \cdot 1 = 4$ (не подходит).
• Если $k = 2$, то $4 \cdot 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ (не подходит).
• Если $k = 3$, то $4 \cdot 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$ (не подходит).
• Если $k = 4$, то $4 \cdot 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$ (не подходит).
• Если $k = 5$, то $4 \cdot 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$ (подходит!).

Получили, что $k = 5$. Подставим это значение в выражение для $N$:

Проверим, удовлетворяет ли число 301 всем условиям задачи:

• При делении на 4: $301 \div 4 = 75$ и остаток 1.
• При делении на 5: $301 \div 5 = 60$ и остаток 1.
• При делении на 6: $301 \div 6 = 50$ и остаток 1.
• При делении на 7: $301 \div 7 = 43$ и остаток 0.

Все условия выполняются, следовательно, наименьшее количество солдат, которое соответствует условиям задачи, равно 301.