В первой смене в лагере отдыхали 189 человек, а во вторую 210 человек. Какое наибольшее количество человек могло быть в отряде, если в обеих сменах в каддом отряде было одинаковое количество человек?

Чтобы найти наибольшее количество человек, которое могло быть в каждом отряде в обеих сменах, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 189 и 210. Это будет максимальное количество человек в одном отряде, при котором и в первой, и во второй сменах отряды могли быть одинаковыми по численности.

Для этого воспользуемся методом разложения чисел на простые множители:

1. Разложим 189 на простые множители: 189 делится на 3:
   $189 \div 3 = 63$
   63 делится на 3:
   $63 \div 3 = 21$
   21 делится на 3:
   $21 \div 3 = 7$
   7 — простое число, делится на себя.

   Итак, разложение 189: $189 = 3^3 \times 7$.

2. Разложим 210 на простые множители: 210 делится на 2:
   $210 \div 2 = 105$
   105 делится на 3:
   $105 \div 3 = 35$
   35 делится на 5:
   $35 \div 5 = 7$
   7 — простое число, делится на себя.

   Итак, разложение 210: $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$.

Теперь находим НОД, для этого выбираем общие множители с наименьшей степенью. В обоих разложениях встречаются числа 3 и 7, но 3 в разложении числа 210 встречается в первой степени.

Таким образом, НОД(189, 210) = $3^1 \times 7 = 21$.

Значит, наибольшее количество человек в отряде, которое могло быть одинаковым в обеих сменах, равно 21.