Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Найти вероятность того, что в группе будет: а) не более двух солдат; б) все солдаты; в) хотя бы один офицер.

Давайте решим задачу по порядку, используя формулы комбинаторики и теорию вероятностей.

Дано:

У нас есть группа из 16 человек: 4 офицера и 12 солдат. Наудачу выбираем 5 человек. Нам нужно найти вероятности для различных условий.

Общая формула вероятности

Вероятность события $P(A)$ может быть найдена как отношение количества благоприятных исходов (способов выбрать нужное количество офицеров и солдат) к общему количеству возможных исходов.

1. Общее количество способов выбрать 5 человек из 16: $$C_{16}^5 = \frac{16!}{5! \cdot (16 - 5)!} = 4368$$

Теперь решим каждый пункт отдельно.

а) Вероятность того, что в группе будет не более двух солдат

Чтобы в группе было не более двух солдат, возможно два случая:

1. В группе 0 солдат и 5 офицеров.
2. В группе 1 солдат и 4 офицера.
3. В группе 2 солдата и 3 офицера.

Посчитаем вероятность каждого случая отдельно, а затем сложим их.

1. Способов выбрать 5 офицеров из 4 не существует (так как их всего 4).

Значит, этот случай невозможен.

2. Способы выбрать 1 солдата и 4 офицеров:

• Число способов выбрать 1 солдата из 12: $C_{12}^1 = 12$.
• Число способов выбрать 4 офицеров из 4: $C_{4}^4 = 1$.

Общее количество способов для этого случая:

3. Способы выбрать 2 солдат и 3 офицеров:

• Число способов выбрать 2 солдат из 12: $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$.
• Число способов выбрать 3 офицеров из 4: $C_{4}^3 = 4$.

Общее количество способов для этого случая:

Теперь сложим все благоприятные исходы:

Вероятность события "не более двух солдат":

б) Вероятность того, что все выбранные будут солдатами

Чтобы все выбранные были солдатами, нужно выбрать 5 солдат из 12.

• Число способов выбрать 5 солдат из 12: $C_{12}^5 = \frac{12!}{5! \cdot (12 - 5)!} = 792$.

Вероятность события "все солдаты":

в) Вероятность того, что в группе будет хотя бы один офицер

Проще всего решить этот пункт, найдя сначала вероятность противоположного события, то есть вероятности того, что в группе нет ни одного офицера (только солдаты), и затем вычесть эту вероятность из 1.

Мы уже нашли вероятность того, что все 5 человек — солдаты (см. пункт б):

Теперь используем эту вероятность, чтобы найти вероятность того, что в группе есть хотя бы один офицер:

Ответ:

а) Вероятность того, что в группе будет не более двух солдат: $6.32\%$.

б) Вероятность того, что в группе будут только солдаты: $18.13\%$.

в) Вероятность того, что в группе будет хотя бы один офицер: $81.87\%$.