Найдите m, если НОД(m,n)=162, m = 2*3^(k+1) и n = 12^k.

Дано: \( \text{НОД}(m, n) = 162 \), \( m = 2 \cdot 3^{k+1} \), \( n = 12^k \).

Разложим \( n \) на простые множители: \( 12^k = (2^2 \cdot 3)^k = 2^{2k} \cdot 3^k \).

Тогда \( m = 2^1 \cdot 3^{k+1} \).

Наибольший общий делитель берёт минимальные показатели степеней общих простых множителей:
\( \text{НОД}(m, n) = 2^{\min(1, 2k)} \cdot 3^{\min(k+1, k)} = 2^{\min(1, 2k)} \cdot 3^k \).

По условию \( \text{НОД}(m, n) = 162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4 \).

Сравниваем степени тройки: \( 3^k = 3^4 \), значит \( k = 4 \).

Проверяем степень двойки: \( \min(1, 2 \cdot 4) = \min(1, 8) = 1 \), \( 2^1 = 2 \) — совпадает.

Теперь найдём \( m \): \( m = 2 \cdot 3^{4+1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486 \).

Ответ: \( m = 486 \).

0 0 Пожаловаться