В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 :3 . Прямая AK пересекает сторону
BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.

Для решения задачи начнём с анализа треугольника ABC, медианы BM и точки K, расположенной на этой медиане, так что отношение BK : KM = 7 : 3.

Шаг 1. Определение общей структуры

1. Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника с одинаковыми площадями.
2. Точка K делит медиану BM в отношении 7 : 3. Это означает, что BK = 7x, а KM = 3x, где x — некоторый коэффициент пропорциональности.
3. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P, и нам нужно найти отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.

Шаг 2. Площадь треугольников

Чтобы найти требуемое отношение площадей, важно понять, как прямая AK делит треугольник ABC. Мы используем некоторые факты о том, как прямая делит площадь треугольника.

• Площадь треугольника пропорциональна основанию и высоте. В нашем случае основание треугольников и четырёхугольника будет связано с точками на стороне BC.
• Отношение площадей треугольников, образующихся при пересечении медианы или прямой через вершину, пропорционально длинам соответствующих отрезков.

Шаг 3. Разбиение медианы BM

Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника: ABM и MBC, площади которых равны. Однако, поскольку точка K делит BM в отношении 7 : 3, можно сказать, что площадь треугольников BKP и KPC пропорциональна длинам отрезков, на которые медиана BM делится точкой K.

Шаг 4. Площадь треугольников BKP и KPC

Треугольник BKP является частью треугольника ABM, а четырёхугольник KPCM — частью треугольника MBC. Площадь треугольника BKP пропорциональна части площади треугольника ABM, в то время как площадь четырёхугольника KPCM пропорциональна части площади треугольника MBC.

Шаг 5. Отношение площадей

Площадь треугольника BKP будет пропорциональна длине отрезка BK, а площадь четырёхугольника KPCM — длине отрезка KM. Поскольку BK : KM = 7 : 3, то площади этих фигур будут пропорциональны этим же отношениям.

Таким образом, отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM будет равно 7 : 3.

Ответ:

Отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM равно 7 : 3.