На олимпиаде по математике было предложено три задачи. Первую задачу решили 139 учащихся, вторую задачу — 140 учащихся, третью задачу — 138 учащихся, первую и вторую — 37 учащихся, первую и третью — 38, вторую и третью — 36, не менее двух задач решили 71 учащийся. Сколько учащихся решили хотя бы одну задачу?

Обозначим множества учащихся, решивших первую, вторую и третью задачи, через \(A\), \(B\), \(C\).

Дано:

\[|A|=139, \quad |B|=140, \quad |C|=138\]

\[|A\cap B|=37, \quad |A\cap C|=38, \quad |B\cap C|=36\]

Не менее двух задач решили \(71\) учащийся.

Пусть \(x\) — число учащихся, решивших все три задачи. Тогда сумма попарных пересечений равна:

\[37+38+36=111\]

В этой сумме те, кто решил ровно две задачи, посчитаны один раз, а те, кто решил три задачи, посчитаны три раза. Поэтому:

\[71+2x=111\]

\[2x=40\]

\[x=20\]

Теперь найдём число учащихся, решивших хотя бы одну задачу, по формуле включений и исключений:

\[|A\cup B\cup C|=139+140+138-37-38-36+20\]

\[|A\cup B\cup C|=326\]

Ответ: \(326\) учащихся.

0 0 Пожаловаться