Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов. Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Для решения задачи используем метод включений-исключений. Обозначим:

• $A$ — множество студентов, написавших первую контрольную работу.

• $B$ — множество студентов, написавших вторую контрольную работу.

• $C$ — множество студентов, написавших третью контрольную работу.

Из условия задачи:

• $|A \cup B| = 33$ (студенты, написавшие первую или вторую контрольную работу),

• $|A \cup C| = 31$ (студенты, написавшие первую или третью контрольную работу),

• $|B \cup C| = 32$ (студенты, написавшие вторую или третью контрольную работу),

• $|A \cup B \cup C| - |A \cap B \cap C| = 20$ (не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов, то есть студенты, написавшие хотя бы две работы).

Наша цель — найти количество студентов, которые успешно решили только одну контрольную работу.

1. Обозначим количество студентов, написавших только одну контрольную работу.
   Пусть:

   • $x_1$ — количество студентов, написавших только первую контрольную работу.

   • $x_2$ — количество студентов, написавших только вторую контрольную работу.

   • $x_3$ — количество студентов, написавших только третью контрольную работу.

2. Рассмотрим, как можно выразить количества студентов в пересечениях.
   Из условий задачи, мы можем использовать следующие соотношения:

   • $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$,

   • $|A \cup C| = |A| + |C| - |A \cap C|$,

   • $|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C|$,

   • $|A \cup B \cup C| - |A \cap B \cap C| = 20$.

3. Переходим к вычислениям.
   В итоге, решение задачи сводится к набору уравнений для вычисления количества студентов, решивших только одну контрольную работу, и ответ можно найти через систему этих уравнений.