События А и Б независимы Докажите что события А и не Б независимы

Чтобы доказать, что события $A$ и $\neg B$ (не $B$) независимы, исходя из того, что события $A$ и $B$ независимы, нужно использовать определение независимости событий и базовые свойства вероятности.

1. Определение независимости событий

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если выполняется условие:

Если события $A$ и $B$ независимы, это значит, что вероятность их одновременного наступления (пересечение $A \cap B$) равна произведению их вероятностей.

2. Независимость событий $A$ и $\neg B$

Нам нужно доказать, что события $A$ и $\neg B$ (не $B$) независимы. Для этого, согласно определению независимости, нужно показать, что:

Где $P(\neg B)$ — это вероятность события "не $B$", а $P(A \cap \neg B)$ — это вероятность того, что $A$ происходит, но не происходит событие $B$.

3. Разложение вероятности $P(A \cap \neg B)$

Используем формулу вероятности для пересечения двух событий:

так как $A = (A \cap B) \cup (A \cap \neg B)$, и эти два события $A \cap B$ и $A \cap \neg B$ несовместимы (их пересечение пусто).

4. Подставим известную зависимость для $P(A \cap B)$

Так как события $A$ и $B$ независимы, мы знаем, что:

Следовательно:

5. Выразим $P(\neg B)$

Также можем записать вероятность события $\neg B$ как:

6. Проверим независимость

Теперь, чтобы доказать независимость $A$ и $\neg B$, нам нужно показать, что:

Подставляем выражения для $P(A \cap \neg B)$ и $P(\neg B)$:

и

Как видим, обе стороны уравнения совпадают:

7. Заключение

Таким образом, мы доказали, что если события $A$ и $B$ независимы, то события $A$ и $\neg B$ тоже независимы.