Стартовав в полдень, два катера, двигаясь с постоянными скоростями, совершили переезд из пункта A в пункт B, двигаясь по течению реки. Оказалось, что первый катер прибыл в пункт назначения за 6 часов, а второй за 8. На сколько часов первый катер прибудет в пункт A
раньше на обратном пути, если они вновь стартуют одновременно, и скорость первого катера больше скорости второго в полтора раза?

Для решения задачи рассмотрим два катера, которые начинают движение из пункта A в пункт B по течению реки.

Шаг 1: Обозначения и данные

• Пусть $v_1$ — скорость первого катера относительно воды (в км/ч).
• Пусть $v_2$ — скорость второго катера относительно воды (в км/ч).
• Пусть $v_t$ — скорость течения реки (в км/ч).
• У нас также есть условие, что $v_1 = 1.5 \cdot v_2$, то есть скорость первого катера больше скорости второго в 1.5 раза.

При движении по течению реки скорость каждого катера относительно земли будет равна его скорости относительно воды плюс скорость течения, то есть:

• Скорость первого катера по течению: $v_1 + v_t$.
• Скорость второго катера по течению: $v_2 + v_t$.

Шаг 2: Время на путь по течению

• Первый катер добирается до пункта B за 6 часов, то есть его путь из A в B длиной $S$ можно выразить как: $$S = (v_1 + v_t) \cdot 6$$
• Второй катер добирается до пункта B за 8 часов, то есть его путь тоже $S$, и для него: $$S = (v_2 + v_t) \cdot 8$$

Теперь у нас есть две системы уравнений:

Шаг 3: Подставим $v_1 = 1.5 \cdot v_2$

Подставим значение $v_1$ в уравнение:

Раскроем скобки:

Теперь упростим:

Таким образом, скорость второго катера относительно воды равна удвоенной скорости течения реки.

Шаг 4: Рассчитываем время на путь против течения

Теперь рассмотрим обратный путь, когда катера будут двигаться против течения.

• Скорость первого катера против течения: $v_1 - v_t = 1.5 \cdot v_2 - v_t$.
• Скорость второго катера против течения: $v_2 - v_t$.

Путь по реке в обоих случаях остается неизменным, и время, которое каждый катер затратит на обратный путь, можно выразить как:

• Время для первого катера: $$t_1 = \frac{S}{v_1 - v_t}$$
• Время для второго катера: $$t_2 = \frac{S}{v_2 - v_t}$$

Из условия задачи, что $v_2 = 2 \cdot v_t$, получаем:

• Скорость первого катера против течения: $$v_1 - v_t = 1.5 \cdot v_2 - v_t = 1.5 \cdot 2 \cdot v_t - v_t = 3 \cdot v_t - v_t = 2 \cdot v_t$$