Фёдор Андреевич выписал на листок 37 различных натуральных чисел. Он посчитал количество чётных чисел — X, количество нечётных чисел — Y, сумму всех 37 выписанных чисел — Z. Можно спросить у Ф.А. про одно значение X, Y или Z — чётное оно или нет. Про какое число нужно спросить, чтобы узнать чётность всех трёх значений?

Можно спросить про любое из трёх чисел: $X$, $Y$ или $Z$.

Действительно, всего выписано 37 чисел, поэтому

Число 37 нечётное, значит $X$ и $Y$ имеют разную чётность: если $X$ чётно, то $Y$ нечётно, и наоборот.

Теперь рассмотрим сумму $Z$. Чётные слагаемые на чётность суммы не влияют, а сумма нечётных чисел чётна тогда и только тогда, когда их количество чётно. Поэтому

Следовательно:

• $Y$ и $Z$ всегда одной чётности;

• $X$ всегда противоположной им чётности.

Поэтому, узнав чётность любого одного из чисел $X$, $Y$ или $Z$, можно однозначно определить чётность остальных двух.

Ответ: спросить можно про любое из чисел $X$, $Y$ или $Z$.