Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке.
а) y = x² - 8x + 19; [-1; 5]
б) y = x² + 4x - 3; [0; 2]
в) y = 2x² - 8x + 6; [-1; 4]
г) y = -3x² + 6x - 10; [-2; 9]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на отрезке, нужно проверить значение функции в вершине параболы, если вершина принадлежит отрезку, и значения на концах отрезка.

а) (y=x^2-8x+19), ([-1;5])

Выделим полный квадрат:

[
y=x^2-8x+19=(x-4)^2+3.
]

Вершина параболы имеет координату (x=4). Она принадлежит отрезку ([-1;5]). Поскольку коэффициент при (x^2) положительный, в вершине функция принимает наименьшее значение:

[
y(4)=(4-4)^2+3=3.
]

Вычислим значения на концах отрезка:

[
y(-1)=(-1)^2-8(-1)+19=1+8+19=28,
]

[
y(5)=5^2-8\cdot5+19=25-40+19=4.
]

Следовательно,

[
\boxed{y_{\min}=3 \text{ при } x=4},
]

[
\boxed{y_{\max}=28 \text{ при } x=-1}.
]

б) (y=x^2+4x-3), ([0;2])

Выделим полный квадрат:

[
y=x^2+4x-3=(x+2)^2-7.
]

Вершина параболы имеет координату (x=-2), но она не принадлежит отрезку ([0;2]). На данном отрезке функция возрастает, поэтому достаточно вычислить значения на концах:

[
y(0)=0^2+4\cdot0-3=-3,
]

[
y(2)=2^2+4\cdot2-3=4+8-3=9.
]

Следовательно,

[
\boxed{y_{\min}=-3 \text{ при } x=0},
]

[
\boxed{y_{\max}=9 \text{ при } x=2}.
]

в) (y=2x^2-8x+6), ([-1;4])

Выделим полный квадрат:

[
y=2(x^2-4x)+6
=2\bigl((x-2)^2-4\bigr)+6
=2(x-2)^2-2.
]

Вершина параболы имеет координату (x=2). Она принадлежит отрезку ([-1;4]). Поскольку коэффициент при (x^2) положительный, в вершине достигается наименьшее значение:

[
y(2)=2(2-2)^2-2=-2.
]

Вычислим значения на концах отрезка:

[
y(-1)=2(-1)^2-8(-1)+6=2+8+6=16,
]

[
y(4)=2\cdot4^2-8\cdot4+6=32-32+6=6.
]

Следовательно,

[
\boxed{y_{\min}=-2 \text{ при } x=2},
]

[
\boxed{y_{\max}=16 \text{ при } x=-1}.
]

г) (y=-3x^2+6x-10), ([-2;9])

Выделим полный квадрат:

[
y=-3(x^2-2x)-10
=-3\bigl((x-1)^2-1\bigr)-10
=-3(x-1)^2-7.
]

Вершина параболы имеет координату (x=1). Она принадлежит отрезку ([-2;9]). Коэффициент при (x^2) отрицательный, поэтому в вершине функция принимает наибольшее значение:

[
y(1)=-3(1-1)^2-7=-7.
]

Вычислим значения на концах отрезка:

[
y(-2)=-3(-2)^2+6(-2)-10=-12-12-10=-34,
]

[
y(9)=-3\cdot9^2+6\cdot9-10=-243+54-10=-199.
]

Следовательно,

[
\boxed{y_{\max}=-7 \text{ при } x=1},
]

[
\boxed{y_{\min}=-199 \text{ при } x=9}.
]

Итог:

[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Задание} & \text{Наименьшее значение} & \text{Наибольшее значение}\
\hline
\text{а)} & 3 & 28\
\text{б)} & -3 & 9\
\text{в)} & -2 & 16\
\text{г)} & -199 & -7
\end{array}
]