Постройте график функции у=√х. Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [2; 4]; б) координаты точки пересечения графика этой функции с прямой х - 3у + 2 = 0.

Давайте разберём этот вопрос шаг за шагом.

Шаг 1. График функции $y = \sqrt{x}$

Функция $y = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$. Она растёт монотонно, начиная из точки $(0, 0)$. При увеличении $x$, $y$ также увеличивается, но темп роста замедляется. На отрезке $[2; 4]$ график будет выглядеть как плавная кривая, начинающаяся в точке $(2, \sqrt{2})$ и заканчивающаяся в точке $(4, 2)$.

• В точке $x=2$ $y = \sqrt{2} \approx 1.414$

• В точке $x=4$ $y = \sqrt{4} = 2$

Шаг 2. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[2;4]$

Функция $y = \sqrt{x}$ монотонно возрастает, значит:

• Наименьшее значение на отрезке достигается в начале:

• Наибольшее значение на отрезке достигается в конце:

Ответ для пункта (а):

Шаг 3. Координаты точки пересечения с прямой $x - 3y + 2 = 0$

Прямая:

Подставим $y = \sqrt{x}$ в уравнение прямой:

Обозначим $t = \sqrt{x} \ge 0$, тогда $x = t^2$. Получаем:

Следовательно:

Так как $t = \sqrt{x}$, получаем:

1. $t = 1 \implies x = 1, \ y = 1$

2. $t = 2 \implies x = 4, \ y = 2$

Проверим на прямой:

• Для $(1,1)$: $1 - 3\cdot1 + 2 = 0$ ✔

• Для $(4,2)$: $4 - 3\cdot2 + 2 = 0$ ✔

Ответ для пункта (б):

✅ Итог

• а) Наименьшее значение: $\sqrt{2} \approx 1.414$, наибольшее: $2$